Mettete in ammollo i fagioli per tutta la notte. Il giorno dopo sgocciolateli e lessateli in abbondante acqua con la salvia, il rosmarino e l'aglio pelato, calcolando 45 minuti circa dal bollore. Scolateli e riduceteli in purea con il passaverdura, aggiungete una presa di sale e una macinata di pepe.
In un tegame abbastanza grande scaldate l'olio, versatevi la farina e fatela tostare mescolando su fuoco moderato per 1 minuto o poco più. Aggiungete le cipolle pelate e affettate al velo e fatele appassire. Versatevi la purea di fagioli, mescolate, versate sopra il brodo e cuocete su fuoco bassissimo (meglio con lo spargifiamma) per circa 1 ora, unendo altro brodo se occorre.
Spegnete il fuoco, cospargete con i formaggi, coprite con un coperchio e lasciate che questi fondano con il calore che si forma all'interno. Servite subito.