Scaldate il latte per preparare la besciamella, intanto sciogliete 35 g di burro in un pentolino, poi unite la farina, fatela tostare qualche minuto e incorporate il latte caldo, portate a cottura mescolando continuamente finché la besciamella s'addenserà. Se volete unite della noce moscata grattugiata.
Tagliate a cubetti le patate lavate e sbucciate e i fagiolini, cuoceteli in abbondante acqua bollente salata, poi scolate. Incorporate il pesto alla besciamella, poi mettete sul fuoco una padella con una noce di burro e l'aglio, unite le verdure e fatele insaporire qualche minuto.
Mettete in una teglia uno strato di lasagne, uno di besciamella e pesto, poi i cubetti di patate e fagiolini e una spolverata di grana grattugiato, continuate con questi strati fino ad esaurimento degli ingredienti terminando con uno strato abbondante di grana e decorando con delle patate e fagiolini.
Cuocete le lasagne in forno a 200 gradi per circa 30 minuti.