Lessare i fagiolini con le patate, tagliare entrambi in pezzettini e salare. Mescolare la besciamella con il pesto e un pochino di latte fino ad ottenere un composto non troppo denso. In una teglia leggermente unta, versare un leggerissimo strato di crema al pesto, adagiare sopra 2 sfoglie per lasagne, quindi la crema al pesto, le verdure e del grana. Ripetere questi strati fino ad esaurimento ingredienti, terminare con un po' di crema e tanto grana. Versare un goccio di latte sui bordi o negli angoli della pirofila, cuocere quindi le lasagne in forno a 180 gradi per circa 20 minuti, poi altri 5-7 minuti con funzione grill. Decorare le lasagne con foglie di basilico.