Sbucciate le patate, lavatele e tagliatele a dadini.Fate un trito con la carota, il sedano, la cipolla e lo spicchio d'aglio.
Mettete il trito in una pentola con l'olio e il burro e lasciatelo imbiondire leggermente.Unite i dadini di patata e lasciateli soffriggere.
Aggiungete un paio di mestoli di brodo e fate sobbollire per circa una decina di minuti.
A questo punto unite il riso, il rimanente brodo e portate tutto ad ebollizione, quindi abbassate la fiamma, regolate di sale e pepe e lasciate finire di cuocere il riso.
Solo durante gli ultimi 5 minuti aggiungete la rucola tagliata a striscioline sottili.
Impiattate, spolverate con il parmigiano e servite. Questa minestra è ottima anche nel periodo estivo, tiepida o quasi fredda.