Preparare la pasta briséé: tagliare il burro freddo a cubetti e metterlo in una ciotola capiente con la farina e un pizzico di sale. Strofinare il burro e la farina fino a ottenere un composto che somiglia ai corn flakes, aggiungere l'acqua ghiacciata e lavorare finché l'impasto si ammassi, poi avvolgerlo in pellicola trasparente e farlo raffreddare in frigorifero.
Preparare tutte le verdure per il ripieno: mondare e tritare grossolanamente le cipolle e le carote; pulire e tritare grossolanamente il sedano, i porri e i funghi champignon. Tagliare il pollo separando cosce, sovracosce, ali e pezzi di petto facilmente maneggiabili lasciando la pelle e le ossa attaccate, per ottenere il massimo del sapore.
Mettere un'ampio tegame su fuoco medio (che sia veramente ampio, mi raccomando!), unire 3 cucchiaiate d'olio e friggere i pezzi di pollo pochi alla volta per 20 minuti, finché sono ben dorati. Toglierli dal fuoco e metterli da parte, poi versare in padella le verdure preparate e le foglie di timo staccate dai rametti, cuocendo per 15 minuti e mescolando spesso. Versarvi il vino, mescolare e raschiare il fondo del tegame con una paletta di legno per deglassarlo.
Rimettere i pezzi di pollo nel tegame, unirvi i funghi selvatici fatti a pezzi con le dita, il sale e la senape, coprire con l'acqua e portare a bollore, poi abbassare la fiamma e far sobbollire per un'ora. Se dovesse essere necessario, aggiungere altra acqua bollente. Assaggiare e correggere la sapidità.
A fine cottura togliere i pezzi di pollo e fare addensare la salsa ancora un po'. Quando il pollo si sarà raffreddato abbastanza da poterlo maneggiare spolparlo con cura, eliminando la pelle e le ossa. Tritare quindi la carne grossolanamente, rimetterla in pentola insieme alla farina e mescolare, proseguendo la cottura finché il ripieno si sarà addensato abbastanza da non avere una pie acquosa, poi spegnere e far raffreddare completamente.
Preriscaldare il forno a 180 °C in modalità statica e imburrare uno stampo da pie di 24 cm di diametro. Tirare i 2/3 dell'impasto allo spessore di 3 mm sulla spianatoia leggermente infarinata, poi arrotolare morbidamente la sfoglia di briséé sul mattarello e srotolarla sopra allo stampo, accomodandola sul fondo e sui bordi e lasciandola trasbordare. Versarvi il ripieno ormai freddo, poi spennellare con l'uovo i bordi della pasta. Tirare l'impasto rimanente a 3 mm di spessore e srotolarlo sopra alla pie. Tagliare la pasta in eccesso, poi pizzicare i bordi con le dita infarinate, per avere un bordo decorativo. Fare un taglio a croce al centro del coperchio di pasta per far fuoriuscire il vapore durante la cottura. Spennellare l'uovo sbattuto.
Far cuocere in forno posizionando la griglia nell'ultima tacca in basso, per 45-50 minuti o finché la pie sia dorata e ben cotta.
Servire con verdure di stagione lessate, facendole cuocere quando la pie viene tolta dal forno - non deve essere rovente, al momento di servirla.