Tritate finemente la cipolla e fatela leggermente soffriggere nell'olio, aggiungete il radicchio ben lavato, sgocciolato e tagliato a pezzetti, spadellate bene a fuoco vivace e sfumate con il vino bianco.
Salate, pepate e cuocete per 10-12 minuti, facendo asciugare l'acqua di vegetazione, ma lasciando il radicchio morbido, non secco.
Intanto lessare la pasta per qualche minuto. Per la besciamella: fate sciogliere il burro in una pentola alta, togliete dal fuoco e con una frusta incorporate la farina.
Aggiungete poco per volta sempre mescolando il latte tiepido o caldo, rimettete sul fuoco, portate ad ebollizione, quindi profumate con poca noce moscata, salate, pepate e cuocete per 2-3 minuti a fuoco basso.
Preriscaldate il forno a 200°C. In una teglia da forno, mettete sul fondo qualche cucchiaiata di besciamella, continuate con uno strato di pasta, uno di besciamella, un po' di radicchio, spolverizzate con un po' di parmigiano e qualche pezzetto di Asiago, quindi ricominciate con la pasta e via di seguito, finite l'ultimo strato con pasta, abbondante parmigiano ed Asiago ed infornate a 180°C. per 30 minuti circa, comunque fino a doratura. Lasciate intiepidire nel forno aperto prima di servirle.